Question

已知A，B是抛物线x²=2py（p＞0）上的两个动点，O为坐标原点，非零向量满足．
（Ⅰ）求证：直线AB经过一定点；
（Ⅱ）当AB的中点到直线y-2x=0的距离的最小值为时，求p的值．

Answer

（Ⅰ）欲证直线经过定点，只需找到直线方程，在验证不管参数为何值都过某一定点即可，可根据判断直线OA，OB垂直，设AB方程，根据OA，OB垂直消去一些参数，再进行判断．
（Ⅱ）设AB中点的坐标根据OA，OB垂直，可得AB中点坐标满足的关系式，再用点到直线的距离公式求AB的中点到直线y-2x=0的距离的，求出最小值，让其等于，解参数p即可．
【解析】
（Ⅰ）∵，
∴OA⊥OB．设A，B两点的坐标为（x1，y1），（x2，y2）则 x12=2py1，x22=2py2．
经过A，B两点的直线方程为（x2-x1）（y-y1）=（y2-y1）（x-x1）．
由，得．
∵．令x=0，得，
∴．
∵OA⊥OB
∴x1x2+y1y2=0，从而．
∵x1x2≠0（否则，有一个为零向量），
∴x1x2=-4p2．代入①，得 y=2p，
∴AB始终经过定点（0，2p）．
（Ⅱ）设AB中点的坐标为（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，
∴x12+x22=2py1+2py2=2p（y1+y2）．
又∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（x1+x2）2+8p2，
∴4x2+8p2=4py，
即 ．…①
AB的中点到直线y-2x=0的距离．
将①代入，得．
因为d的最小值为，
∴，
∴p=2．