(1)因为抛物线y2=2px的准线的方程为x=-2,所以p=4,再根据抛物线的定义可求出定点N的坐标.
(2)假设存在直线l满足两个条件,显然l斜率存在,设l的方程为y-1=k(x-4),(k≠±1)以N为圆心,同时与直线l1:y=x和l2:y=-x相切的圆N的半径为,因为l被圆N截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离等于1,由此入手能够推导出不存在满足条件的直线l.
【解析】
(1)因为抛物线y2=2px的准线的方程为x=-2
所以p=4,根据抛物线的定义可知:
点N是抛物线的焦点,
所以定点N的坐标为(2,0)
(2)【解析】
假设存在直线l满足两个条件,显然l斜率存在,
设l的方程为y-1=k(x-4),(k≠±1)
以N为圆心,同时与直线l1:y=x和l2:y=-x相切的圆N的
半径为,因为l被圆N截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离等于1,
即,
解得,
当k=0时,显然不合AB中点为E(4,1)的条件,矛盾!
当时,l的方程为4x-3y-13=0
由,解得点A坐标为(13,13),
由,解得点B坐标为,
显然AB中点不是E(4,1),矛盾!
所以不存在满足条件的直线l.