Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=，E为CP的中点．
（1）求直线DE与平面ABCD所成角的大小．
（2）求二 面角E-AD-C的正切值．
（3）在线段PC上是否存在一点M，使PC⊥平面MBD？如果存在，求出MC的长；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）本小题是一个求线面角的问题，首先要作出线面角，考查题设条件，可连接AC，BD交于点0，连接OE，则可得到OE∥PA，由题设条件可以得到OE⊥面ABCD，由线面角的定义可以得出∠EDO为DE与平面ABCD所成的角，如此线面角易求；
（2）本小题是一个求二面角的问题，其一般解法是作出二面角的平面角，解三角形求出角，由（1）及二面角平面角的定义知，可过点0作OF⊥AD于F，连接EF，由此得∠EFO为二面角E-AD-C的平面角．由题设条件在三角形中求解即可；
（3）本小题研究线面垂直的问题，是一个存在性问题，此类题一般是假设存在，再寻求存在的依据，一般是通过其存在所具有的性质，建立方程求解，若有解则说明存在，否则说明不存在，由图，可做PC⊥OM
【解析】
（1）如图，连接AC，BD交于点0，连接OE，则OE∥PA．
∵PA⊥底面ABCD，
∴OE⊥面ABCD．
∠EDO为DE与平面ABCD所成的角．（2分）
∵，
∴EDO=60°（4分）
（2）过点0作OF⊥AD于F，连接EF，由三垂线定理得EF⊥AD，
则∠EFO为二面角E-AD-C的平面角．（6分）
∵，
∴．（8分）
（3）过点O作OM⊥PC于M，由△COM～△CPA，得．（10分）
∵PC⊥OM，又PC⊥BD
∴PC⊥面MBD．
所以，所求M存在，且其位置使CM=．（12分）