Question

已知函数（a为常数）的图象经过点（1，3）．
（1）求实数a的值；
（2）写出函数f（x）在[a，a+1]上的单调区间，并求函数f（x）在[a，a+1]上的值域．

Answer

（1）只需要代入x=1即可得结果．
（2）首先要判断函数的单调区间，然后利用单调性来解答函数治值域的问题，这是求函数值域的重要方法．利用定义求单调区间的时候，要注意x1，x2的任意性，本题中求单调区间需要分1≤x1＜x2≤和-≤x1＜x2≤2进行讨论．
【解析】
（1）由已知=2a+1=3，得a=1；
    （2）有（1）知a=1，所以函数，
    在[1，2]上可设设1＜x1＜x2＜2，则
    f（x1）-f（x2）=（）-（）
=（x1-x2）+（-）
=（x1-x2）•
    因为0＜x1＜x2，所以x1-x2＜0，x1•x2＞0，
    当1＜x1＜x2≤时，x1•x2-2＜0，所以＜0
    所以：f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
    所以f（x）在（1，]上是减函数．
    当≤x1＜x2＜2时，x1•x2-2＞0，所以＞0
    所以：f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
    所以f（x）在[，2）上是增函数．
    因此函数f（x）在[a，a+1]即在[1，2]上的单调区间为：
    减区间为，增区间为．
    所以函数在[1，2]上的最小值为f（）=，
    又因为f（1）=3，f（2）=3，所以函数的值域是．