Question

已知点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n为正整数）都在函数的图象上，且数列{a_n} 是a₁=1，公差为d的等差数列．
（1）证明：数列{b_n} 是公比为的等比数列；
（2）若公差d=1，以点P_n的横、纵坐标为边长的矩形面积为c_n，求最小的实数t，若使c_n≤t（t∈R，t≠0）对一切正整数n恒成立；
（3）对（2）中的数列{a_n}，对每个正整数k，在a_k与a_k+1之间插入2^k-1个3（如在a₁与a₂之间插入2个3，a₂与a₃之间插入2¹个3，a₃与a₄之间插入2²个3，…，依此类推），得到一个新的数列{d_n}，设S_n是数列{d_n}的前n项和，试求S₁₀₀₀．

Answer

（1）根据题中已知条件以及等差数列的基本性质，先求出bn的通项公式，然后证明为常数即可证明；
（2）先求出bn的通项公式，然后求出cn的表达式，可知数列cn从第二项起随n增大而减小，故cn≤c2，即t=c2，便可求出t的最小值；
（3）根据题意先求出dn的表达式，然后求出Sn的表达式，继而可以求得S1000的值．
【解析】
（1）由已知，（1分）
所以，（常数），（4分）
所以数列bn是等比数列．（5分）
（2）公差d=1，则an=n，得，
∴，（7分）
，
∴c1=c2＞c3＞c4＞cn，
数列cn从第二项起随n增大而减小（10分）
∴又，则．最小的实数t等于（12分）
（3）∵an=n，
∴数列dn中，从第一项a1开始到ak为止（含ak项），
共有k+2+21++2k-2=k+2k-1-1项，（14分）
k=10时k+2k-1-1=521（15分）
k=11时k+2k-1-1=1034＞1000（16分）
∴S1000=（1+2+10）+990×3=3025（18分）