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一个多面体的直观图,前视图(正前方观察),俯视图(正上方观察),侧视图(左侧正前...

一个多面体的直观图,前视图(正前方观察),俯视图(正上方观察),侧视图(左侧正前方观察)如图所示.
(1)求A1A与平面ABCD所成角的大小及面AA1D1与面ABCD所成二面角的大小;
(2)求此多面体的表面积和体积.

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(1)先寻找直线与平面的所成角,取AB中点H,连接A1H,根据线面所成角的定义可知∠A1AB是A1A与平面ABCD所成的角,在三角形A1AB中求出此角的正切值即可,先寻找二面角的平面角,取AD中点K,连接D1K,KH,取HK的中点M,取A1D1的中点N,连接MN,AM,AN,根据二面角平面角的定义可知∠MAN就是面AA1D1与面ABCD所成的二面角,然后在三角形MAN中求出此角的余弦值即可. (2)根据该多面体为长方体削去四个全等的三棱锥,先求出三棱锥的体积,然后利用长方体的体积减去四个全等的三棱锥的体积即可求出所求. 【解析】 (1)由已知图可得,平面A1AB⊥平面ABCD,取AB中点H,连接A1H, 在等腰△A1AB中,有A1H⊥AB,则A1H⊥平面ABCD. ∴∠A1AB是A1A与平面ABCD所成的角. ∵A1H=2AH,∴=2. 故A1A与平面ABCD所成角为arctan2. 取AD中点K,连接D1K,KH, 同理有D1K⊥平面ABCD,即△AHK是△AA1D1在平面ABCD内的射影. 取HK的中点M,取A1D1的中点N,连接MN,AM,AN, 则∠MAN就是面AA1D1与面ABCD所成的二面角. ∵MN=a,,∴.即 . ∴面AA1D1与面ABCD所成二面角的余弦值为 . (2)∵该多面体为长方体削去四个全等的三棱锥, 此多面体的表面积 每个三棱锥的体积都为 . ∴此多面体的体积 .
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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