Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，E，F分别是AB，BC的中点．
（1）求证：EF∥平面A₁BC₁；
（2）求证：平面D₁DBB₁⊥平面A₁BC₁．

Answer

（1）连接AC，则AC∥A1C1，E，F分别是AB，BC的中点，可得EF∥AC，然后再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
（2）因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1，又A1C1⊥B1D1，然后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明；
【解析】
（1）连接AC，则AC∥A1C1，而E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC，
则EF∥A1C1，故EF∥平面A1BC1（7分）
（2）因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1，又A1C1⊥B1D1，
则A1C1⊥平面D1DBB1（12分）
又A1C1⊂平面A1BC1，所以平面D1DBB1⊥平面A1BC1（14分）