Question

已知函数，常数a＞0．
（1）设m•n＞0，证明：函数f（x）在[m，n]上单调递增；
（2）设0＜m＜n且f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求常数a的取值范围．

Answer

（1）运用函数的定义判断证明函数的单调性的步骤：①取值x1，x2∈[m，n]；②作差f（x1）-f（x2）变形；③定号；④下结论；
（2）逆向运用函数单调性的定义，我们可以得到：f（m）=m，f（n）=n，转化为方程的根的问题，利用根的判别式，从而求出参数的范围．
【解析】
（1）任取x1，x2∈[m，n]，且x1＜x2，，
因为x1＜x2，x1，x2∈[m，n]，所以x1x2＞0，即f（x1）＜f（x2），
故f（x）在[m，n]上单调递增．
（2）因为f（x）在[m，n]上单调递增，
f（x）的定义域、值域都是[m，n]⇔f（m）=m，f（n）=n，
即m，n是方程的两个不等的正根⇔a2x2-（2a2+a）x+1=0有两个不等的正根．
所以△=（2a2+a）2-4a2＞0，