Question

已知无穷数列{a_n}，首项a₁=3，其前n项和为S_n，且a_n+1=（a-1）S_n+2（a≠0，a≠1，n∈N^*）．若数列{a_n}的各项和为，则a=    ．

Answer

由an+1=（a-1）•Sn+2，知a2=3a-1，a3=3a2-a，a4=3a3-a2，由数学归纳法可以求得：an+1=3an-an-1，又由于an+1=（a-1）Sn+2，且|a|=1时Sn都不等于（-）a．那么：Sn=（3an-an-1）×，由此能求出a的值．
【解析】
由an+1=（a-1）•Sn+2 可以知道：
a2=3a-1，
a3=3a2-a，
a4=3a3-a2，
由数学归纳法可以求得：an+1=3an-an-1，
又由于an+1=（a-1）Sn+2，
且|a|=1时Sn都不等于（-）a
那么：Sn=（3an-an-1）×，
当n趋向无穷大时：若|a|＞1，那么Sn也趋向无穷，不满足题意，
若|a|＜1，那么Sn=-，
那么有：，
解得：a=-．
故答案为：-．