Question

如图，已知△OAP的面积为S，．设，，并且以O为中心、A为焦点的椭圆经过点P．当取得最小值时，则此椭圆的方程为    ．

Answer

先以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，=c，P点坐标为（x，y），则••|y|=，即 ．因为 =（c，0），=（x-c，y），•=1，可得 ==，设 ，判断知f（c）在[2，+∞）上是增函数；所以当c=2时，f（c）为最小，从而 为最小，此时P（ ），最终得到答案．
【解析】
如图，以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系
设，，
∴••|y|=，∴
∵=（c，0），=（x-c，y），•=1
∴c（x-c）=1，∴
∴==
设 ，当c≥2时，任取c2＞c1≥2
有
当c2＞c1≥2时，
∴f（c2）-f（c1）＞0，∴f（c）在[2，+∞）上是增函数
∴当c=2时，f（c）为最小，从而 为最小，此时P（ ）
设椭圆的方程为 ，则 ∴a2=10，b2=6
故椭圆的方程为 ．
故答案为：．