Question

给定椭圆C：C，称圆心在坐标原点O，半径为（a＞b＞0）的圆是椭圆C的“伴随圆”．
（1）若椭圆C过点，且焦距为4，求“伴随圆”的方程；
（2）如果直线与椭圆C的“伴随圆”有且只有一个交点，那么请你画出动点轨迹的大致图形；
（3）已知椭圆C的两个焦点分别是Q（a，b），椭圆C上一动点M₁满足．设点P是椭圆C的“伴随圆”上的动点，过点P作直线l₁、l₂使得l₁、l₂与椭圆C都各只有一个交点，且l₁、l₂分别交其“伴随圆”于点M、N．当P为“伴随圆”与M、N轴正半轴的交点时，求与l₂的方程，并求线段的长度．

Answer

（1）将点代入椭圆C：中可求出a2=5又焦距为4再结合b2=a2-c2=1可求出b2=1故圆的半径R=，再由圆心（0，0）写出圆的方程．
（2）由于直线与椭圆C的“伴随圆”有且只有一个交点可以得到即即a2+b2=9在结合a＞b＞0求出a，b的取值范围即可得到动点（a，b）的轨迹方程，再根据轨迹方程即可做出对应的图象．
（3）由题意得得，半焦距进而求出b2=a2-c2=1所以椭圆C的方程为所以“伴随圆”的方程为x2+y2=4，再根据题意知P点的坐标为（0，2）进而可根据题意设与椭圆有一个交点的直线为y=kx+2在与椭圆方程联立可求出K的值即可写出符合条件的直线方程．对于线段的长度可利用，l2垂直求出．
【解析】
（1）由题意得：，则a2=5（1分）
又由焦距为2c=4，所以焦距为b2=a2-c2=1（2分）
故所求的“伴随圆”的方程为x2+y2=6（4分）
（2）由于椭圆C的“伴随圆”x2+y2=a2+b2与直线有且只有一个交点，则圆心到直线的距离等于半径，
即（7分）
故动点Q（a，b）轨迹方程为a2+b2=9（a＞b＞0）
即动点的轨迹是：以原点为圆心半径为3的圆上八分之一弧（除去两端点）如图（10分）
（3）由题意得：得，半焦距来了
则b=1椭圆C的方程为“伴随圆”的方程为x2+y2=4（11分）
文科 因为“伴随圆”的方程为x2+y2=4与M、N轴正半轴的交点P（0，2），
设过点P（0，2），且与椭圆有一个交点的直线为y=kx+2，
则整理得（1+3k2）x2+12kx+9=0（14分）
所以△=144k2-4×9（1+3k2）=0，解得k=±1
所以，l2的方程为y=x+2，y=-x+2（16分）
由于，l2垂直，线段的长度为4（18分）