Question

关于x的不等式＜0的解集为（-1，b）．
（1）求实数a、b的值；
（2）若z₁=a+bi，z₂=cosα+isinα，且z₁z₂为纯虚数，求的值．

Answer

（1）将原不等式转化为（x+a）x-2＜0，即x2+ax-2＜0，根据解集为（-1，b）得到-1，b是方程x2+ax-2=0的两个根，结合根与系数的关系即可列出关于a，b的方程组，并利用解二元一次方程组的方法即可求解
（2）根据z1z2为纯虚数，得知实部为0，虚部不为0，即可得到关于α的条件式并解得：tanα=-，再利用两角差的余弦，倍角公式和同角的三角关系将化为关于tanα的代数式即可求解
【解析】
（1）原不等式等价于（x+a）x-2＜0，
  即x2+ax-2＜0
由题意得，
解得a=-1，b=2．
（2）z1=-1+2i，z1z2=（-cosα-2sinα）+i（2cosα-sinα）
若z1z2为纯虚数，则，
解得
==．