Question

在“猜数字”的游戏中，主持人在1～127中确定一个数字作为目标数字，记在心里，让小光来猜，如果没有猜对，主持人会告诉小光，他猜的数字比目标数字大还是小，再让他猜，直到猜出目标数字为止．小光决定每次选择数字范围中最中间的数来猜目标数字，因为这样能最有效地缩小范围．
（1）如果主持人确定的目标数字是48，小光需要经过几次猜测，才能正确猜出目标数字？
（2）如果主持人等可能地在1～127中随机确定一个数字作为目标数字，小光平均要经过几次猜测才能正确猜出目标数字？

Answer

（1）由题意知当目标数字是48时，每次选择数字范围中最中间的数来猜目标数字可猜64，32，48共3次可猜出目标；
（2）选择数字范围中最中间的数来猜目标，相当于要研究目标数字中含因数2的情况，列举出可以猜出数字的所有情况，做出期望值．
【解析】
可把1，2，3，，127这127个自然数看成是开区间（0，128）中的自然数
（1）当目标数字是48时，每次选择数字范围中最中间的数来猜目标数字
可猜64，32，48共3次可猜出目标；
（2）选择数字范围中最中间的数来猜目标，相当于要研究目标数字中含因数2的情况，故可如下分类：
1×2°，3×2°，5×2°，…，127×2°这64个数均猜7次
1×21，3×21，5×21，…，63×21这32个数均猜6次
1×22，3×22，5×22，…，31×22这16个数均猜5次
1×23，3×23，5×23，••，15×23这8个数均猜4次
1×24，3×24，5×24，7×24这4个数均猜3次
1×25，3×25这2个数均猜2次
1×26这1个数只猜1次
平均期望次数为+2×2+1×1）=6.055