Question

已知{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃a₆=55，a₂+a₇=16．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式：
（Ⅱ）若数列{a_n}和数列{b_n}满足等式：a_n==（n为正整数），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）将已知条件a3a6=55，a2+a7=16，利用等差数列的通项公式用首项与公差表示，列出方程组，求出首项与公差，进一步求出数列{an}的通项公式
（2）将已知等式仿写出一个新等式，两个式子相减求出数列{bn}的通项，利用等比数列的前n项和公式求出数列{bn}的前n项和Sn．
解（1）【解析】
设等差数列{an} 的公差为d，则依题设d＞0
由a2+a7=16．得2a1+7d=16
①由a3•a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55 ②
由①得2a1=16-7d 将其代入②得（16-3d）（16+3d）=220．
即256-9d2=220∴d2=4，又d＞0，
∴d=2，代入①得a1=1
∴an=1+（n-1）•2=2n-1
所以an=2n-1
（2）令cn=，则有an=c1+c2+…+cn，an+1=c1+c2+…+cn-1
两式相减得an+1-an=cn+1，
由（1）得a1=1，an+1-an=2
∴cn+1=2，cn=2（n≥2），
即当n≥2时，bn=2n+1
又当n=1时，b1=2a1=2
∴bn=＜BR＞
于是Sn=b1+b2+b3…+bn=2+23+24+…+2n+1=2+22+23+24+…+2n+1-4=-6，
即Sn=2n+2-6