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设复数β=x+yi(x,y∈R)与复平面上点P(x,y)对应. (1)若β是关于...

设复数β=x+yi(x,y∈R)与复平面上点P(x,y)对应.
(1)若β是关于t的一元二次方程t2-2t+m=0(m∈R)的一个虚根,且|β|=2,求实数m的值;
(2)设复数β满足条件|β+3|+(-1)n|β-3|=3a+(-1)na(其中n∈N*、常数manfen5.com 满分网),当n为奇数时,动点P(x、y)的轨迹为C1.当n为偶数时,动点P(x、y)的轨迹为C2.且两条曲线都经过点manfen5.com 满分网,求轨迹C1与C2的方程;
(3)在(2)的条件下,轨迹C2上存在点A,使点A与点B(x,0)(x>0)的最小距离不小于manfen5.com 满分网,求实数x的取值范围.
(1)由实系数方程虚根成对,利用韦达定理直接求出m的值. (2)方法一:分n为奇数和偶数,化出a的范围,联立双曲线方程,求出a值,推出双曲线方程即可. 方法二:由题意分a的奇偶数,联立方程组,求出复数β,解出a,根据双曲线的定义求出双曲线方程. (3)设点A的坐标,求出|AB|表达式,根据x范围,x的对称轴讨论,时,|AB|的最小值,不小于,求出实数x的取值范围. 【解析】 (1)β是方程的一个虚根,则是方程的另一个虚根,(2分) 则,所以m=4(2分) (2)方法1:①当n为奇数时,|α+3|-|α-3|=2a,常数), 轨迹C1为双曲线,其方程为;(2分) ②当n为偶数时,|α+3|+|α-3|=4a,常数), 轨迹C2为椭圆,其方程为;(2分) 依题意得方程组 解得a2=3, 因为,所以, 此时轨迹为C1与C2的方程分别是:,.(2分) 方法2:依题意得(2分) 轨迹为C1与C2都经过点,且点对应的复数, 代入上式得,(2分) 即对应的轨迹C1是双曲线,方程为; 对应的轨迹C2是椭圆,方程为.(2分) (3)由(2)知,轨迹C2:,设点A的坐标为(x,y), 则 =, (2分) 当即时, 当即时,,(2分) 综上或.(2分),
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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