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已知f(x)=x3-3x,过点A(1,m) (m≠-2)可作曲线y=f(x)的三...

已知f(x)=x3-3x,过点A(1,m) (m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,则实数m的取值范围是( )
A.(-1,1)
B.(-2,3)
C.(-1,2)
D.(-3,-2)
先设切点坐标,用导数求出切线斜率,再用斜率公式求出切线斜率,两者相等,得到含m的方程,因为过点A(1,m) (m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,所以前面所求方程有3解,再借助导数判断何时方程有3解即可. 解;设切点坐标(x,x3-3x), ∵f(x)=x3-3x,∴f′(x)=3x2-3 ∴曲线y=f(x)在(x,x3-3x)处的切线斜率为3x2-3 又∵切线过点A(1,m),∴切线斜率为, ∴=3x2-3 即2x3-3x2+m+3=0  ① ∵过点A(1,m) (m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线, ∴方程①有3解. 令ω(x)=2x3-3x2+m+3,则ω(x)图象与x轴有2个交点,∴ω(x)的极大值与极小值异号 ω′(x)=6x2-6x,令ω′(x)=0,得6x=0或1 ∴ω(0)ω(1)<0,即(m+3)(m+2)<0 -3<m<-2 故选D
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