Question

已知函数
（1）求f（x）的极值；
（2）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若f（x）-e=0在上有唯一实根，求实数a的范围．

Answer

（1）先对函数f（x）进行求导，令导函数等于0求出x的值，再根据导函数的正负判断函数的单调性，进而确定极值．
（2）将问题转化为 在（0，+∞）上恒成立的问题，然后求函数 ．的最大值，令k大于这个最大值即可．
（3）由f（x）-e=0得a=1+lnx-ex，令g（x）=1+lnx-ex，，然后利用导数研究函数g（x）在上的单调性和极值即可求出所求．
【解析】
（1）∵，令f′（x）=0，∴x=ea------------------------------------------------（2分）
由下表：

x （0，ea） ea （ea，+∞）
f′（x） + -
f（x） ↗ 极大值 ↘

∴f（x）的极大值为
故f（x）的最大值为e-a．-------------------------------------------------------（4分）
（2）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，∴在（0，+∞）上恒成立∴-------------（6分）
由（1）：令a=1，则，∴∴--------------------------（8分）
（3）由f（x）-e=0得a=1+lnx-ex，令g（x）=1+lnx-ex，------------------------------（10分）
则，由g′（x）=0 得，
当，∴g（x）单调递增；当，∴g（x）单调递减．
且，，g（1）=1-e∵
由题意得：
即--------------------------------------------------------（13分）