Question

定义数列中的前n项的积为数列的n项阶乘，记为，例如：（a_3n+1）!!=a₄•a₇•a₁₀•…•a_3n+1，已知f（x）=x-sinx在[0，n]上的最大值为b_n；设a_n=b_n+sin n．
（1）求a_n
（2）求证：
（3）是否存在m∈N^*使成立？若存在，求出所有的m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由f′（x）=1-cosx≥0，知f（x）在[0，n]上单调递增．所以f（n）max=f（n）=bn=n-sinn由此能求出an．
（2）由和能够证明．
（3）由=，知对于任意的m∈N*均有．
【解析】
（1）∵f′（x）=1-cosx≥0，
∴f（x）在[0，n]上单调递增．
∴f（n）max=f（n）=bn=n-sinn，
∴an=bn+sinn=n，
（2）∵
又，
∴，
（数学归纳法按（1分）+（3分）+（1分）评分）
（3）由（2）知：
=

=
=，
∴对于任意的m∈N*均有．