Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AA₁=4，M、N分别为CC₁、A₁C₂的中点．
（I）求证：AM⊥平面B₁MN；
（II）求二面角M-AB₁-A₁的大小．

Answer

（I）要证明AM⊥平面B1MN，只需证明AM垂直平面B1MN内两条相交直线即可，利用平面A1B1C1⊥平面A1ACC1证明AM⊥B1N．
再利用勾股定理证明AM⊥MN，而B1N，MN为平面B1MN内两条相交直线，所以可证AM⊥平面B1MN．
（II）要求二面角M-AB1-A1的大小，只需求其平面角的大小，先利用三垂线法找二面角M-AB1-A1的平面角，再放入直角三角形中，解三角形即可．
【解析】
（I）∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴平面A1B1C1⊥平面A1ACC1；
∵AB=BC，进而A1B1=B1C1，
N为A1C1的中点，
∴B1N⊥平面A1ACC1，
∵AM⊂平面A1ACC1，
∴B1N⊥AM，即AM⊥B1N．
在侧面A1ACC1中，C1M=CM=2，
C1N=，AC=2，∴Rt△MC1N∽Rt△ACM，
∴∠C1MN+∠CMA=90°，
∴AM⊥MN．
∵B1N∩MN=N，∴AM⊥平面B1MN．  
（II）取BB1的中点为D，连接MD，则MD⊥平面A1AB1，作DE⊥AB1，垂足为E，连接ME，则ME⊥AB1，∠MED为二面角M-AB1-A1的补角．
，
∴，
∠MED=arctan，…（11分）
故二面角M-AB1-A1的大小为π-arctan．