Question

已知函数f（x）=ax³-12x，f（x）的导函数f'（x）．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）若f'（1）=-6，求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer

（I）f'（x）=3ax2-12=3（ax2-4）．当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（-∞，+∞）单调递减； 当a＞0时借助于极值点确定寒素的单调区间．
（II）由f'（1）=3a-12=-6，得a=2，确定出f（x）和f′（x）的解析式，然后令f′（x）=0求出x的值，在区间[1，a]上利用x的值讨论函数的增减性得到函数的最值．
【解析】
（I）f'（x）=3ax2-12=3（ax2-4）．
当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（-∞，+∞）单调递减； …（3分）
当a＞0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化如下表：

x
f'（x） + - +
f（x） 极大值 极小值

此时，单调递增，
在单调递减；  …（6分）
（II）由f'（1）=3a-12=-6，得a=2．…（8分）
由（I）知，单调递增．
因，…（10分）
故f（x）在[-1，3]上的最大值为18，最小值为．…（12分）