Question

A、B是椭圆上的点，O为原点，OA与OB斜率的乘积等于-2，．
（I）求证：点C在另一个椭圆上；
（II）求四边形OACB的面积．

Answer

（I）先设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x，y），结合直线的斜率公式得kOA•kOB，再利用向量关系式得到：x=x1+x2，y=y1+y1，最后得到点C的坐标适合椭圆的方程，从而证得点C在另一个椭圆上；
（II）设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为-，点A坐标方程组，|x1+x2|=．|OA|=|，tan∠AOB=|，再由S=2S△AOB=|OA||OB|sin∠AOB
=，能求出四边形OACB的面积．
【解析】
（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x，y），则x12+=1，
且kOA•kOB==0，…（2分）
），
于是x=x1+x2，y=y1+y1，
∴x2+=（x1+x2）2+
=x12+=2，
于是，=1上．  …（5分）
（II）设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为-，
点A坐标方程组，∴|x1+x2|=．…（8分）
|OA|=|，
tan∠AOB=|，
S=2S△AOB=|OA||OB|sin∠AOB
=
=
=
=．