Question

已知O是线段AB外一点，若，．
（1）设点A₁、A₂是线段AB的三等分点，△OAA₁、△OA₁A₂及△OA₂B的重心依次为G₁、G₂、G₃，试用向量、表示；
（2）如果在线段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．

Answer

（1）由题意画出图形由于点A1、A2是线段AB的三等分点，又由于△OAA1、△OA1A2及△OA2B的重心依次为G1、G2、G3，利用重心的性质及向量的三角形法则求得用向量、表示；
（2）由题意若在线段AB上有若干个等分点，有（1）的证明过程及结论可以逐渐得到结论，并且利用向量的加法及减法得到证明过程．
【解析】
（1）如图：点A1、A2是线段AB的三等分点，，同理可得：，，
则
=
=
（2）层次1：设A1是AB的二等分点，则；；
设A1、A2、A3是AB的四等分点，则；
或设A1，A2，，An-1是AB的n等分点，则，
层次2：设A1，A2，，An-1是AB的n等分点，
，
层次3：设A1，A2，，An-1是AB的n等分点，
则；
证：
=
=
=