Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足b_n=a_n+1-a_n其中n=1，2，3，…．
（1）若b_n=n且a₁=1，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2时
①求数列{b_n}的前6n项和；
②判断数列中任意一项的值是否会在该数列中出现无数次？若存在，求出a₁满足的条件，若不存在，并说明理由．

Answer

（1）利用叠加可得，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=a1+b1+b2+…+bn-1
可求an，
（2）①由bn+1bn-1=bn（n≥2），可有，即数列{bn}，周期为6，数列{bn}的前6项分别为，且这六个数的和为7．从而可求前6n项的和
②【解析】
设cn=a6n+i（n≥0），则可得，cn+1-cn=7（n≥0）即数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列，设，
分  有=； 当时 （i）若，可得fk+1＜fk，即数列为单调减数列；（ii）若，则有fk+1＞fk，即数列为单调增数列；设集合B=，通过检验a1与B的关系来判定
【解析】
（1）当n≥2时，有an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=a1+b1+b2+…+bn-1…（3分）
=．…（4分）
又因为a1=1也满足上式，所以数列{an}的通项为．…（5分）
（2-①）【解析】
因为bn+1bn-1=bn（n≥2），
所以，对任意的n∈N*有，
即数列{bn}各项的值重复出现，周期为6．…（8分）
又数列{bn}的前6项分别为，且这六个数的和为7．
设数列{bn}的前n项和为Sn，则，S6n=7n； …（11分）
②【解析】
设cn=a6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}），所以cn+1-cn=a6n+6+i-a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=7（n≥0）
所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列．…（13分）
设，
（其中n=6k+i（k≥0），i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数），
当时，对任意的n=6k+i有=；                 …（15分）
当时，
=
（i）若，则对任意的k∈N有fk+1＜fk，所以数列为单调减数列；
（ii）若，则对任意的k∈N有fk+1＞fk，所以数列为单调增数列；
综上：设集合=，
当a1∈B时，数列中必有某数重复出现无数次．
当a1∉B时，（i=1，2，3，4，5，6）均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．…（18分）