Question

如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A₁、A₂、A₃、A₄是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M为止．
（1）求甲经过A₂到达N的方法有多少种；
（2）求甲、乙两人在A₂处相遇的概率；
（3）求甲、乙两人相遇的概率．

Answer

（1）满足条件的事件是甲经过A2到达N，可分为两步：甲从M经过A2的方法数C31种；甲从A2到N的方法数C31种；根据分步计数原理得到结果数．
（2）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是C63C63，甲经过A2的方法数为（C31）2；乙经过A2的方法数也为（C31）2，得到甲、乙两人相遇经A2点的方法数为（C31）4，根据概率公式得到结果．
（3）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A1、A2、A3、A4处相遇，他们在Ai（i=1，2，3，4）相遇的走法有（C3i-1）4种方法，根据分类计数原理得到结果数，求得概率．
【解析】
（1）甲经过A2，可分为两步：
第一步，甲从M经过A2的方法数为C31种；
第二步，甲从A2到N的方法数为C31种；
所以甲经过A2到达N的方法数为（C31）2=9种．
（2）由（1）知，甲经过A2的方法数为（C31）2；乙经过A2的方法数也为（C31）2．
所以甲、乙两人在A2处相遇的方法数为（C31）4=81；
甲、乙两人在A2处相遇的概率为．
（3）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A1、A2、A3、A4处相遇，
他们在Ai（i=1，2，3，4）相遇的走法有（C3i-1）4种方法；
所以：（C3）4+（C31）4+（C32）4+（C33）4=164
故甲、乙两人相遇的概率．
答：（1）甲经过A2到达N的方法数为9种；
（2）甲、乙两人在A2处相遇的概率为；
（3）甲、乙两人相遇的概率．