Question

如图，已知点P在圆柱OO₁的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO₁的表面积为24π，OA=2，∠AOP=120°．
（1）求三棱锥A₁-APB的体积．
（2）求异面直线A₁B与OP所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）

Answer

（1）由题意圆柱OO1的表面积为24π，OA=2，∠AOP=120°建立关于圆柱高的方程求出AA1=4，即得棱锥的高，再由，∠AOP=120°解出解出AP，进而解出BP，即可解出底面积，再棱锥的体积公式求体积即可；
（2）取AA1中点Q，连接OQ，PQ，可证得∠POQ或它的补角为异面直线A1B与OP所成的角，在三角形POQ中求异面直线所成的角即可．
【解析】
（1）由题意S表=2π•22+2π•2•AA1=24π，
解得AA1=4．（2分）
在△AOP中，OA=OP=2，∠AOP=120°，
所以（3分）
在△BOP中，OB=OP=2，∠BOP=60°，
所以BP=2（4分）
（5分）
=（6分）
（2）取AA1中点Q，连接OQ，PQ，则OQ∥A1B，
得∠POQ或它的补角为异面直线A1B与OP所成的角．（8分）
又，AQ=AO=2，得，PQ=4，（10分）
由余弦定理得，（12分）
得异面直线A1B与OP所成的角为．（14分）