Question

定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆．
（1）若椭圆，判断C₂与C₁是否相似？如果相似，求出C₂与C₁的相似比；如果不相似，请说明理由；
（2）写出与椭圆C₁相似且短半轴长为b的椭圆C_b的方程；若在椭圆C_b上存在两点M、N关于直线y=x+1对称，求实数b的取值范围？
（3）如图：直线l与两个“相似椭圆”和分别交于点A，B和点C，D，证明：|AC|=|BD|

Answer

（1）分别求出特征三角形是腰长为a 和底边长为2c，从而得到椭圆的相似比．
（2）设出椭圆Cb的方程，直线lMN的方程，根据两点关于直线对称的性质，求出直线lMN的方程，根据直线lMN与椭圆Cb有两个不同的交点，判别式大于零，求得实数b的取值范围．
（3）直线l与x轴垂直时，易得线段AB与CD的中点重合；直线l不与x轴垂直时，设出直线l的方程，联立直线方程与椭圆方程分别求出线段AB与CD的中点，得到中点坐标相同即可说明结论．
【解析】
（1）椭圆C2与C1相似．-------------------（2分）
因为椭圆C2的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，而椭圆C1的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为2：1-------------------（4分）
（2）椭圆Cb的方程为：-------------------（6分）
设lMN：y=-x+t，点M（x1，y1），N（x2，y2），MN中点为（x，y），
则，所以5x2-8tx+4（t2-b2）=0-------------------（8分）
则-------------------（9分）
因为中点在直线y=x+1上，所以有，-------------------（10分）
即直线lMN的方程为：，
由题意可知，直线lMN与椭圆Cb有两个不同的交点，
即方程有两个不同的实数解，
所以，即-------------------（12分）
（3）证明：
①直线l与x轴垂直时，易得线段AB与CD的中点重合，所以|AC|=|BD|；-------------------（14分）
②直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为：y=kx+n，A（x1，y1），B（x2，y2），
线段AB的中点（x，y），-------（15分）⇒线段AB的中点为----------（16分）
同理可得线段CD的中点为，-------------------（17分）
即线段AB与CD的中点重合，所以|AC|=|BD|-------------------（18分）