Question

已知等轴双曲线C：x²-y²=a² （a＞0）上一定点P（x，y）及曲线C上两动点AB满足（-）•（-）=0，（其中O为原点）
（1）求证：（+）•（+）=0；
（2）求|AB|的最小值．

Answer

（1）用坐标表示向量，利用点满足双曲线方程，可证数量积为0；
（2）先由弦长公式得|PA|=，|PB|=，再利用勾股定理求|AB|的长，从而使问题得解．
【解析】
（1）因P（x，y）在双曲线C：x2-y2=a2 上，故x2-y2=a2．①
设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x12-y12=a2，②x22-y22=a2    ③
=（x1-x，y1-y），=（x2-x，y2-y），由于（-）•（-）=0，∴（x1-x）（x2-x）=-（y1-y）（y2-y） ④
且点A，B分别在双曲线的两支．
②-①得（x1-x）（x1+x）=（y1-y）（y1+y）                ⑤
同理（x2-x）（x2+x）=（y2-y）（y2+y）                           ⑥
⑤×⑥÷④得（x1+x）（x2+x）=-（y1+y）（y2+y）．
∴（+）•（+）=[（x+x1）（x+x2）+（y+y1）（y+y2）]=0．
（2）为简单起见，记x=m，y=n，不妨设PA的方程为x=m+k（y-n），其中kmn≥0，⑦
代入x2-y2=a2，化简得（k2-1）y2+（2km-2k2n）y-2kmn+（1+k2）n2=0，
解得y1=n，y2=⑧
由弦长公式得|PA|=，|PB|=，
设f（k）=|AB|2-4（m2+n2）=|PA|2+|PB|2-4（m2+n2）=≥0
当k→∞时，f（k）→0，∴|AB|的最小值是，即2|OP|=2