Question

在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案．第一种方案是每年年末（12月底）加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加1000元；第二种方案是每半年（6月底和12月底）各加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加300元，请选择一种．
根据上述条件，试问：
（1）如果你将在该公司干十年，你将选择哪一种加工资的方案？（说明理由）
（2）如果第二种方案中的每半年加300元改成每半年加a元，那么a在什么范围内取值时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪？

Answer

（1）为了决定选择哪一种加工资的方案，主要看看第10年末，哪一个方案薪金更多，故只要计算出两个方案的薪金总量即可；
（2）先计算出第n年末，依第一方案，得到的薪金；依第二方案，得到的薪金，由题意an（2n+1）＞500n（n+1），对所有正整数恒成立，最后分离出参数a，即可求得a在什么范围内取值时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪．
【解析】
（1）假设他进厂的工资是x元，那么他第1年月工资x元，第2年月工资（x+1000）元，第3年月工资（x+2000）元，…第10年月工资（x+9000）元．
依据第一种方案这10年他总共的工资：
12×（x+x+1000+x+1000×2+…+x+1000×9）=120x+45000（元）
依据第二种方案这10年他总共的工资：
6×（x+x+300+x+300×2+…+x+300×19）=120x+57000（元）
（2）第一种方案这n年他总共的工资：12nx+1000=12nx+6000n（n-1）
第二种方案这n年他总共的工资：12nx+6an（2n-1）
6an（2n-1）＞6000n（n-1），即a＞，当n趋向于无穷大时，不等式左边趋向于500
故当a≥500时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪