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设有抛物线C:y=-x2+manfen5.com 满分网x-4,通过原点O作C的切线y=mx,使切点P在第一象限.
(1)求m的值,以及P的坐标;
(2)过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q;
(3)设C上有一点R,其横坐标为t,为使DOPQ的面积小于DPQR的面积,试求t的取值范围.
(1)设出P的坐标,代入直线和抛物线方程,联立求得k,利用P在的象限判断出P的坐标和所求的斜率. (2)过P点作切线的垂线,其方程为:y=-2x+5,代入抛物线方程,设Q点的坐标把直线与抛物线的方程联立求得x2,则y2可得,即求得Q的坐标. (3)先设出C上的一点R,利用点到直线的距离求得其到直线PQ的距离的表达式,根据DOPQ的面积小于DPQR的面积,SDOPQ<SDPQR,判断出OP<d获得不等式求得t的范围. 【解析】 (1)设点P的坐标为(x1,y1),则y1=kx1①,y1=-x12+x1-4②, ①代入②,得:x12+(k-)x1+4=0 因为点P为切点,所以(k-)2-16=0,得:k=或k= 当k=时x1=-2,y1=-17;当k=时,x1=2,y1=1; 因为点P在第一象限,故所求的斜率k=,P的坐标为(2,1), (2)过P点作切线的垂线,其方程为:y=-2x+5③,代入抛物线方程,得: x2-x+9=0,设Q点的坐标为(x2,y2),则2x2=9,所以x2=,y2=-4, 所以Q点的坐标为(,-4) (3)设C上有一点R(t,-t2+t-4),它到直线PQ的距离为: d= 点O到直线PQ的距离PO=,SDOPQ=´PQ´OP,SDPQR=´PQ´d, 因为DOPQ的面积小于DPQR的面积,SDOPQ<SDPQR, 即:OP<d,即:>5, +4>0或+14<0 解之得:t<或t> 所以t的取值范围为t<或t>.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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