Question

（理）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C₁的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）得到曲线C₂的方程F（λx，λy）=0，则称曲线C₁、C₂关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．
（1）已知曲线C₁的方程为，伸缩比λ=2，求C₁关于原点“伸缩变换”后所得曲线C₂的方程；
（2）射线l的方程，如果椭圆C₁：经“伸缩变换”后得到椭圆C₂，若射线l与椭圆C₁、C₂分别交于两点A、B，且，求椭圆C₂的方程；
（3）对抛物线C₁：y²=2p₁x，作变换（x，y）→（λ₁x，λ₁y），得抛物线C₂：y²=2p₂x；对C₂作变换（x，y）→（λ₂x，λ₂y）得抛物线C₃：y²=2p₃x，如此进行下去，对抛物线C_n：y²=2p_nx作变换（x，y）→（λ_nx，λ_ny），得抛物线C_n+1：y²=2p_n+1x，…．若，求数列{p_n}的通项公式p_n．

Answer

（1）由“伸缩变换”的伸缩比得，从而即得曲线C2的方程；
（2）根据C2、C1关于原点“伸缩变换”，对C1作变换（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），得到C2分别解方程组得点A，B两点的坐标，最后利用两点的距离公式得到关于λ的方程求出λ的值，即可写出椭圆C2的方程；
（3）先对Cn：y2=2pnx作变换（x，y）→（λnx，λny）得抛物线Cn+1：（λny）2=2pnλnx，结合y2=2pn+1x得到：，从而求得数列{pn}的通项公式pn．
解（1）由条件得，得C2：；（4分）
（2）∵C2、C1关于原点“伸缩变换”，对C1作变换（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），得到C2，（5分）
解方程组得点A的坐标为；（7分）
解方程组得点B的坐标为；（8分）
==，化简后得3λ2-8λ+4=0，解得，因此椭圆C2的方程为或．（12分）（漏写一个方程扣2分）
（3）（理）对Cn：y2=2pnx作变换（x，y）→（λnx，λny）得抛物线Cn+1：（λny）2=2pnλnx，得，
又∵y2=2pn+1x，∴，即，（14分）
=2•22•23•…•2n-1，则，（16分）
（或【解析】
）p1=1，
∴．（18分）