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(理)在平面直角坐标系xoy中,若在曲线C1的方程F(x,y)=0中,以(λx,...

(理)在平面直角坐标系xoy中,若在曲线C1的方程F(x,y)=0中,以(λx,λy)(λ为正实数)代替(x,y)得到曲线C2的方程F(λx,λy)=0,则称曲线C1、C2关于原点“伸缩”,变换(x,y)→(λx,λy)称为“伸缩变换”,λ称为伸缩比.
(1)已知曲线C1的方程为manfen5.com 满分网,伸缩比λ=2,求C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程;
(2)射线l的方程manfen5.com 满分网,如果椭圆C1manfen5.com 满分网经“伸缩变换”后得到椭圆C2,若射线l与椭圆C1、C2分别交于两点A、B,且manfen5.com 满分网,求椭圆C2的方程;
(3)对抛物线C1:y2=2p1x,作变换(x,y)→(λ1x,λ1y),得抛物线C2:y2=2p2x;对C2作变换(x,y)→(λ2x,λ2y)得抛物线C3:y2=2p3x,如此进行下去,对抛物线Cn:y2=2pnx作变换(x,y)→(λnx,λny),得抛物线Cn+1:y2=2pn+1x,….若manfen5.com 满分网,求数列{pn}的通项公式pn
(1)由“伸缩变换”的伸缩比得,从而即得曲线C2的方程; (2)根据C2、C1关于原点“伸缩变换”,对C1作变换(x,y)→(λx,λy)(λ>0),得到C2分别解方程组得点A,B两点的坐标,最后利用两点的距离公式得到关于λ的方程求出λ的值,即可写出椭圆C2的方程; (3)先对Cn:y2=2pnx作变换(x,y)→(λnx,λny)得抛物线Cn+1:(λny)2=2pnλnx,结合y2=2pn+1x得到:,从而求得数列{pn}的通项公式pn. 解(1)由条件得,得C2:;(4分) (2)∵C2、C1关于原点“伸缩变换”,对C1作变换(x,y)→(λx,λy)(λ>0),得到C2,(5分) 解方程组得点A的坐标为;(7分) 解方程组得点B的坐标为;(8分) ==,化简后得3λ2-8λ+4=0,解得,因此椭圆C2的方程为或.(12分)(漏写一个方程扣2分) (3)(理)对Cn:y2=2pnx作变换(x,y)→(λnx,λny)得抛物线Cn+1:(λny)2=2pnλnx,得, 又∵y2=2pn+1x,∴,即,(14分) =2•22•23•…•2n-1,则,(16分) (或【解析】 )p1=1, ∴.(18分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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