Question

已知平面直角坐标系xoy中O是坐标原点，，圆C是△OAB的外接圆，过点（2，6）的直线l被圆所截得的弦长为．
（1）求圆C的方程及直线l的方程；
（2）设圆N的方程（x-4-7cosθ）²+（y-7sinθ）²=1，（θ∈R），过圆N上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求的最大值．

Answer

（1）直角三角形斜边的中点就是该直角三角形外接圆的圆心，半径r、弦长l、弦心距d三者满足：r2=d2+．
（2）结合图象，利用2个向量的数量积的定义，用∠ECF的一半α表示则的结果，由圆的几何性质|PC|≥|NC|-1，可得cosα的最大值，进而得的最大值．
【解析】
（1）因为，所以△OAB为以OB为斜边的直角三角形，
所以圆C：（x-4）2+y2=16
①斜率不存在时，l：x=2被圆截得弦长为，所以l：x=2适合
②斜率存在时，设l：y-6=k（x-2）即kx-y+6-2k=0
因为被圆截得弦长为，所以圆心到直线距离为2，所以
∴
∴
综上，l：x=2或4x+3y-26=0
（2）【解析】
设∠ECF=2a，
则．
在Rt△PCE中，，由圆的几何性质得|PC|≥|NC|-1=7-1=6，
所以，
由此可得，则的最大值为．