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如图:某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(...

如图:某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(Rt△FHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越短,铺设管道的成本越低.设计要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20米,manfen5.com 满分网米,记∠BHE=θ.
(1)试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域;
(2)若manfen5.com 满分网,求此时管道的长度L;
(3)问:当θ取何值时,铺设管道的成本最低?并求出此时管道的长度.

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(1)由∠BHE=θ,H是AB的中点,易得,,,由污水净化管道的长度L=EH+FH+EF,则易将污水净化管道的长度L表示为θ的函数. (2)若,结合(1)中所得的函数解析式,代入易得管道的长度L的值. (3)污水净化效果最好,即为管道的长度最长,由(1)中所得的函数解析式,结合三角函数的性质,易得结论. 【解析】 (1),…(2分)…(4分) 由于,,…(5分),…(6分) (2)时,,…(8分);…(10分) (3)= 设sinθ+cosθ=t则…(12分) 由于,所以…(14分)在内单调递减,于是当时.L的最小值米.…(15分) 答:当时,所铺设管道的成本最低,此时管道的长度为米…(16分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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