Question

现有31行67列表格一个，每个小格都只填1个数，从左上角开始，第一行依次为1，2，…67；第二行依次为68，69…134；…依次把表格填满．现将此表格的数按另一方式填写，从左上角开始，第一列从上到下依次为1，2…，31；第二列从上到下依次为32，33，…，62；…依次把表格填满．对于上述两种填法，在同一小格里两次填写的数相同，这样的小格在表格中共有    个．

Answer

先分别求出两种填法的通项公式，然后根据当67（i-1）+j=31（j-1）+i时，在同一小格里两次填的数相同，最后求出满足条件的i和j即可．
【解析】
共有7个．理由如下：设第i行第j列称为aij（i=1，2，3，…，31，j=1，2，3，…，67），
则有第一种填法：aij=67（i-1）+j；第二种填法：aij=31（j-1）+i．当67（i-1）+j=31（j-1）+i时，在同一小格里两次填的数相同，移项、合并同类项、并系数化为1，
得11i-5j=6．当i=1，j=1时，aij=1；当i=6，j=12时，aij=347；当i=11，j=23时，aij=693；当i=16，j=34时，aij=1039；当i=21，j=45时，aij=1385；当i=26，j=56时，aij=1731；当i=31，j=67时，aij=2077．
故答案为：7