Question

设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意x₁∈D，存在唯一的x₂∈D使f（x₁）+f（x₂）=c（c为常数）成立，则称函数y=f（x）在D上“与常数c关联”．现有函数：①y=2x；②y=2sinx；③y=log₂^x；④y=2^x，其中满足在其定义域上“与常数4关联”的所有函数是      （ ）
A．①②
B．③④
C．①③④
D．①③

Answer

对各个选项分别加以判断：根据“与常数4关联”的定义，列出方程可以解出x2关于x1表达式且情况唯一的选项是
①和③，而②④通过解方程发现不符合这个定义．从而得出正确答案．
【解析】
对于函数①y=2x定义域为任意实数，取任意的x1∈R，f（x1）+f（x2）=2x1+2x2=4，
解得x2=2-x1，可以得到唯一的x2∈R．故“与常数4关联”成立；
对于函数②y=2sinx，明显不成立，因为y=2sinx是R上的周期函数，
存在无穷个的x2∈D，使 f（x1）+f（x2）=4成立．故不满足条件；
对于函数③y=log2x，定义域为x＞0，值域为R且单调，
显然必存在唯一的x2∈D，使 f（x1）+f（x2）=4成立．故“与常数4关联“成立；
对于函数④y=2x定义域为R，值域为y＞0．对于x1=3，f（x1）=8．
要使 f（x1）+f（x2）=4成立，则f（x2）=-4＜0，不成立，故不满足条件；
所以满足条件的选项应该是①③
故选D