Question

已知点集L={（x，y）|y=}，其中=（2x-b，1），=（1，b+1），点列P_n（a_n，b_n）（n∈N⁺）在L中，p₁为L与y轴的交点，数列{a_n}是公差为1的等差数列．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f（n）=，令S_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n），试写出S_n关于n的表达式；
（Ⅲ）若f（n）=，给定奇数m（m为常数，m∈N⁺，m＞2）．是否存在k∈N⁺，，使得
f（k+m）=2f（m），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）首先运用向量数量积的运算得 =（2x-b）+（b+1）=2x+1，然后再根据等差通项公式得an=a1+（n-1）×1=n-1，最后在根据bn=2an+1，得bn=2n-1
（Ⅱ）此小问关键在于分类讨论（1）当n=2k时（2）当n=2k-1时，然后根据等差数列的求和公式即可；
（Ⅲ）先假设存在k∈N+，使得f（m+k）=2f（m），因为m为奇数；再分k为奇数和k为偶数两种情况分别求出对应的k的值即可．
解（Ⅰ）y==（2x-b）+（b+1）=2x+1
∵y=2x+1与y轴的交点P1（a1，b1）为（0，1）
∴a1=0；
∵等差数列{an}的公差为1
∴an=a1+（n-1）×1，即an=n-1，
因为Pn（an，bn）在y=2x+1上，所以bn=2an+1，即bn=2n-1
（Ⅱ）由题意得：
f（n）=
①当n=2k时，sn=s2k=a1+b2+a2+b4+…+a2k-1+b2k
=（a1+a2+…+a2k-1）+（b2+b4+…+b2k）
=k+k=3k2．
因为k=．所以
②当n=2k-1时，Sn=S2k-1=S2k-2+f（2k-1）
=3（k-1）2+2k-2=3k2-4k+1．
因为k=．所以Sn=．
因此Sn=．
（Ⅲ）假设存在k∈N+，使得f（m+k）=2f（m），因为m为奇数，
（1）若k为奇数，则k+m为偶数，于是f（m）=m-1，f（m+k）=2（m+k）-1，
由2（m+k）-1=2（m-1），得k=-与k∈N+矛盾；（11分）
（2）若k为偶数，则k+m为奇数，于是f（m）=m-1，f（m+k）=（m+k）-1，
由（m+k）-1=2（m-1），得k=m-1（m-1是正偶数）．（13分）
综上，对于给定奇数m（m为常数，m∈N+，m＞2），这样的k总存在且k=m-1．（14分）