Question

已知：点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，若记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程．
（2）若直线L与曲线C相交于A、B两点，且OA⊥OB．求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标．
（3）试利用所学圆锥曲线知识参照（2）设计一个与直线L过定点有关的数学问题，并解答所提问题．

Answer

（1）解法（A）：点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，所以点P与点F（2，0）的距离与它到直线x+2=0的距离相等．由抛物线定义得：点P在以F为焦点直线x+2=0为准线的抛物线上，由此能求出抛物线方程．
解法（B）：设动点P（x，y），则．当x≤-4时，（x-2）2+y2=（-x-6）2，此时曲线不存在．当x＞-4时，（x-2）2+y2=（x+2）2，化简得：y2=8x．
（2）设直线L：y=kx+b与抛物线交予点（x1，y1），（x2，y2），（a）若L斜率存在，设为k，，，由此能导出直线为y=k（x-8），所以L过定点（8，0）．
（3）（逆命题）如果直线L过定点（8，0），且与抛物线y2=8x相交于A、B两点，O为坐标原点．求证：．   
证明：设其方程为y=k（x-8），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，消去y，并整理得k2x2-（16k2+8）x+64k2=0，，x1x2=64，y1y2=k（x1-8）•k（x2-8）=k2x1x2-8k2（x1+x2）+64k2=-64．所以．
【解析】
（1）解法（A）：点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，所以点P与点F（2，0）的距离与它到直线x+2=0的距离相等．（1分）
由抛物线定义得：点P在以F为焦点直线x+2=0为准线的抛物线上，（1分）
抛物线方程为y2=8x．（2分）
解法（B）：设动点P（x，y），则．
当x≤-4时，（x-2）2+y2=（-x-6）2，
化简得：y2=8（x+2），显然x≥-2，而x≤-4，此时曲线不存在．
当x＞-4时，（x-2）2+y2=（x+2）2，化简得：y2=8x．
（2）设直线L：y=kx+b与抛物线交予点（x1，y1），（x2，y2），（a）若L斜率存在，设为k，，，（1分），，即，b=-8k，（2分）
直线为y=k（x-8），所以L过定点（8，0）（1分）
（3）（逆命题）如果直线L过定点（8，0），且与抛物线y2=8x相交于A、B两点，O为坐标原点．求证：．   
证明：∵直线L过定点（8，0），
∴设其方程为y=k（x-8），设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程组，消去y，并整理得k2x2-（16k2+8）x+64k2=0，
∴，x1x2=64，
y1y2=k（x1-8）•k（x2-8）
=k2x1x2-8k2（x1+x2）+64k2
=-64．
∴．