Question

已知无穷数列{a_n}满足a₁=2，数列是各项和等于的无穷等比数列，其中常数b是正整数．
（1）求无穷等比数列的公比和数列{a_n}的通项公式；
（2）在无穷等比数列{b_n}中，b₁=a₁，b₂=a₂，试找出一个b的具体值，使得数列{b_n}的任意项都在数列{a_n}中；试找出一个b的具体值，使得数列{b_n}的项不都在数列{a_n}中，简要说明理由；
（3）对于问题（2）继续进行研究，探究当且仅当b取怎样的值时，数列{b_n}的任意项都在数列{a_n}中，说明理由．

Answer

（1）利用无穷等比数列的求和公式，可得方程，从而求出公比，进而可求数列的通项；
（2）先求出数列{bn}的通项公式，再赋值验证；
（3）当b取奇数时，b3∉{an}；当b取偶数时，数列{bn}的任意项都在数列{an}中，再作证明．
【解析】
（1）由即得，--------------（2分）∴∴an=2+（n-1）b，n∈N*-----------------------------------------------（5分）
（2）∵a1=2，∴a2=2+b，又b1=a1，b2=a2∴，n∈N*-------------------（6分）
取b=2，则an=2n，n∈N*，bn=2n，n∈N*∴数列{bn}的任意项都在数列{an}中．------------------------（8分）
取b=1，则an=n+1，n∈N*，，n∈N*∴，∴数列{bn}的项不都在数列{an}中．---------（10分）
（3）当b取奇数时，b3∉{an}；当b取偶数时，数列{bn}的任意项都在数列{an}中．
证明：bn=2×（k+1）n-1=2（Cn-1kn-1+Cn-11kn-2+…+Cn-1n-2k+Cn-1n-1）=2+2k[（Cn-1kn-2+Cn-11kn-3+…+Cn-1n-2+1）-1]
是数列{an}中的第Cn-1kn-2+Cn-11kn-3+…+Cn-1n-2+1项----------------（18分）