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设P(a,b)、R(a,2)为坐标平面xoy上的点,直线OR(O为坐标原点)与抛...

设P(a,b)、R(a,2)为坐标平面xoy上的点,直线OR(O为坐标原点)与抛物线manfen5.com 满分网交于点Q(异于O).
(1)若对任意ab≠0,点Q在抛物线y=mx2+1(m≠0)上,试问当m为何值时,点P在某一圆上,并求出该圆方程M;
(2)若点P(a,b)(ab≠0)在椭圆x2+4y2=1上,试问:点Q能否在某一双曲线上,若能,求出该双曲线方程,若不能,说明理由;
(3)对(1)中点P所在圆方程M,设A、B是圆M上两点,且满足|OA|•|OB|=1,试问:是否存在一个定圆S,使直线AB恒与圆S相切.
(1)把直线方程与抛物线方程联立求得交点Q的坐标,代入y=mx2+1,求得a和b的关系式,进而判断出当m=1时,点P(a,b)在圆M:x2+(y-1)2=1上 (2)设,进而根据点Q的坐标,求得y2Q-mx2Q=16,进而判断出,点Q在双曲线y2-4x2=16上. (3)设AB:x=ky+λ,A(x1,y1),B(x2,y2),进而根据|OA|•|OB|=1,求得y2•y1,进而把直线与圆方程联立,求得y2•y1,进而根据原点O到直线AB距离求得d,进而判断出直线AB恒与圆相切. 【解析】 (1)∵, 代入⇒ma2+b2-2b=0 当m=1时,点P(a,b)在圆M:x2+(y-1)2=1上 (2)∵P(a,b)在椭圆x2+4y2=1上,即a2+(2b)2=1 ∴可设 又∵, ∴=(令m=4) ∴点Q在双曲线y2-4x2=16上 (3)∵圆M的方程为x2+(y-1)2=1 设AB:x=ky+λ,A(x1,y1),B(x2,y2),由|OA|•|OB|=1⇒ 又∵⇒(k2+1)y2+2(kλ-1)y+λ2=0, ∴ 又原点O到直线AB距离 ∴,即原点O到直线AB的距离恒为 ∴直线AB恒与圆相切.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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