Question

已知圆C：x²+（y-3）²=4，一动直线l过A （-1，O）与圆C相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线x+3y+6=0相交于N，则|AM|•|AN|=    ．

Answer

设连接CA并延长交直线x+3y+6=0相交于G，可得CG⊥NG，由垂径定理得CM⊥PQ，可得△AGN∽△AMC，将比例线段转化为等积式，得|AM|•|AN|=|AC|•|AG|=5
【解析】
设连接CA并延长交直线x+3y+6=0相交于G，连接CM
可得AC的斜率为
∵，
∴直线AC与直线x+3y+6=0垂直
又∵圆C中，M为弦PQ的中点
∴CM⊥PQ
因此△AGN∽△AMC，可得
∴|AM|•|AN|=|AC|•|AG|
又∵

∴|AC|•|AG|=
故答案为5