Question

如图，在棱长为l的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为CC₁中点．
（1）求二面角A₁-BD-M的大小；
（2）求四面体A₁-BDM的体积？

Answer

（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为l，取BD中点为O，连接OM，OA1．
说明∠A1OM为=两角A1-BD-M的平面角，在△A1OM中，由勾股定理求出二面角A1-BD-M的大小；
（2）由（1）可知A1O⊥面BDM，直接求出四面体A1-BDM体积．
【解析】
（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为l，取BD中点为O，连接OM，OA1．
∵BM=DM=，A1B=A1D=
从而A1O⊥BD，MO⊥BD
∴∠A1OM为=两角A1-BD-M的平面角
在△A1OM中，
而
从而由勾股定理可知：∠A1OM=90°（6分）
（2）由（1）可知A1O⊥面BDM，从而四面体A1-BDM体积
（12分）