Question

在数列|a_n|中，a₁=t-1，其中t＞0且t≠1，且满足关系式：a_n+1（a_n+tⁿ-1）=a_n（tⁿ⁺¹-1），（n∈N⁺）
（1）猜想出数列|a_n|的通项公式并用数学归纳法证明之；
（2）求证：a_n+1＞a_n，（n∈N⁺）．

Answer

（1）由原递推式得到，再写出前几项，从而猜想数列|an|的通项公式，进而利用数学归纳法证明．
（2）利用（1）的结论，作差进行比较，故可得证．
【解析】
（1）由原递推式得到，，=
猜想得到…（3分）
下面用数学归纳法证明
1当n=1时   a1=t-1   满足条件
2假设当n=k时，
则，∴，∴
即当n=k+1时，原命题也成立．
由1、2知…（7分）
（2）==
而ntn-（tn-1+tn-2+…+t+1）=（tn-tn-1）+（tn-tn-2）+…+（tn-t）+（tn-1）=tn-1（t-1）+tn-2（t2-1）+tn-3（t3-1）+…+t（tn-1-1）+（tn-1）=
故t＞0，且t≠1时有an+1-an＞0，即an+1＞an…（13分）