Question

已知椭圆（a＞b＞0）满足，且椭圆C₁过点．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆C₁的长轴，动直线l₂垂直于l₁且与l₁交于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）设曲线C₂与x轴交于点Q，C₂上有与Q不重合的不同两点R（x₁，y₁）、S（x₂，y₂），且满足，求点S的横坐标x₂的取值范围．

Answer

（1）设，（k＞0），所以椭圆C1的方程为，由椭圆C1过点，解得k=1，由此能求出椭圆C1的方程．
（2）F1（-1，0），F2（1，0），所以直线l1的方程为x=-1，由|MP|=|MF2|，知点M的轨迹C2是以F2为焦点，直线l1为准线的抛物线，由此能求出轨迹C2的方程．
（3）Q（0，0），设，，所以，，因为，所以，化简得，由此能求出点S的横坐标的取值范围是[16，+∞）．
【解析】
（1）由已知，可设，（k＞0），
所以椭圆C1的方程为，…（2分）
因为椭圆C1过点，所以有，解得k=1，…（3分）
所以椭圆C1的方程为．…（4分）
（2）F1（-1，0），F2（1，0），所以直线l1的方程为x=-1，…（5分）
由题意，|MP|=|MF2|，所以点M的轨迹C2是以F2为焦点，直线l1为准线的抛物线，
所以轨迹C2的方程是y2=4x． …（10分）
（3）Q（0，0），设，，
所以，，
因为，所以，…（12分）
因为y1≠y2，y1≠0，化简得，…（15分）
所以，当且仅当，y1=±4时等号成立．…（16分）
所以，点S的横坐标的取值范围是[16，+∞）．…（18分）