Question

已知函数．
（1）求证：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数y=f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求实数a的取值范围．

Answer

（1）任取0＜x1＜x2＜+∞，由=，能够证明函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）由f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，得．记，在（1，+∞）上是增函数，得g（x）＞g（1）=3，由此能求出a的范围．
（3）函数y=f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），再由n＞m＞0和0＞n＞m两种情况分别讨论实数a的取值范围．
【解析】
（1）任取0＜x1＜x2＜+∞，

=
所以：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数
（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，
得即
记，在（1，+∞）上是增函数，
得g（x）＞g（1）=3，
所以：a≤3
（3）函数y=f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
ⅰ）当n＞m＞0时，f（x）在[m，n]上是增函数，解得：a＞2
ⅱ） 当0＞n＞m时，f（x）在[m，n]上是减函数，解得：a=0
所以：a∈{0}∪（2，+∞）．