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设椭圆(a>b>0)与双曲线有相同的焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0...

设椭圆manfen5.com 满分网(a>b>0)与双曲线manfen5.com 满分网有相同的焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),P为椭圆上一点,△PF1F2的最大面积等于manfen5.com 满分网.过点N(-3,0)且倾角为30°的直线l交椭圆于A、
B两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求证:点F1(-c,0)在以线段AB为直径的圆上;
(3)设E、F是直线l上的不同两点,以线段EF为直径的圆过点F1(-c,0),求|EF|的最小值并求出对应的圆方程.
(1)求出双曲线的焦点坐标,得到椭圆(a>b>0)半焦距c=2,再根据△PF1F2的最大面积求得b值,从而可得所求椭圆方程; (2)通过方程组,求出圆心的坐标及圆的直径,得出线段AB为直径的圆方程,将点F1(-2,0)代入验证满足圆该圆方程,从而得到以线段AB为直径的圆过定点F1; (3)取EF的中点D为圆心,|EF|=2|DF1|利用线段DF1的最小值求得|EF|min=1.通过联解方程组,得到圆心坐标及半径大小,由此即可写出|EF|取最小值时相应的圆方程. 【解析】 (1)∵双曲线的焦点F1(-2,0),F2(2,0), ∴椭圆(a>b>0)半焦距为:2, 又△PF1F2的最大面积等于bc=2b=,∴b= 从而,椭圆方程为: (2)∵,∴由消去y,得2x2+6x+3=0 因此,可得圆心坐标为,半径 ∴圆方程为 ∵点F1(-2,0)满足圆方程. ∴以线段AB为直径的圆过定点F1 (3)取EF的中点D为圆心,则|EF|=2|DF1| ∴|EF|达到最小值时,F1D恰好是点F1到直线l的距离, 即,可得|EF|min=1; 此时,,联立方程 得圆心为,半径为 ∴|EF|取最小值时,相应的圆方程为
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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