Question

已知函数，数列{a_n}满足：a₁=a，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）若对于n∈N^*，都有a_n+1=a_n成立，求实数a的值；
（2）若对于n∈N^*，都有a_n+1＞a_n成立，求实数a的取值范围；
（3）设数列{b_n}满足，．求证：当a为数列{b_n}中的任意一项时，数列{a_n}必有相应一项的值为1．

Answer

（1）利用an+1=an=a，可得方程，进而可求实数a的值；
（2）由于对于n∈N*，都有an+1＞an成立，故可建立不等式，从而有an＜0或2＜an＜3，再作分类讨论即可．
（3）由于数列{bn}满足，．所以：，不妨设bk=a，不断使用条件可证．
【解析】
（1）由an+1=an=a，得：
所以a=2或a=3（检验符合题意）
（2）由an+1＞an得，；
所以an＜0或2＜an＜3．
ⅰ）当a1＜0时，；，不满足条件；
ⅱ）当2＜a1＜3时，
同理a3∈（2，3），…an∈（2，3），

所以an+1＞an成立，满足题意．
综上，a∈（2，3）
（3）由于数列{bn}满足，．
所以：，不妨设bk=a，
a2=bk-1，
a3=bk-2；
…
；
．
所以结论成立．