Question

（理科）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中的底面是等腰直角△，AB=AC=2，∠BAC=90°，棱AA₁=3，若D是BC点．
（1）求证：AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）求异面直线DC₁与AB₁所成角的大小．

Answer

（1）先根据AB=AC=2且D是BC中点得到AD⊥CB；再结合其为直三棱柱得到AD⊥B1B；即可得AD⊥平面BCC1B1；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，得到对应点的坐标以及对应向量的坐标，再代入向量的数量积求夹角公式即可得到结论．
【解析】
（1）∵AB=AC=2且D是BC中点
∴AD⊥CB，①
∵是直三棱柱ABC-A1B1C1，
∴AD⊥B1B．②
∴由①②得：AD⊥平面BCC1B1；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），C1（0，2，3），D（1，1，0），B1（2，0，3）
所以；=（-1，1，3），=（2，0，3）．
∴cosθ===．
故异面直线DC1与AB1所成角的大小为：arccos．