Question

已知函数f （x）=
（1）判断f （x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明；
（2）若关于x的方程f （x）=k有根在[2，3]内，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的方程f （x）=k x²有四个不同的实数根，求实数k的取值范围．

Answer

（1）当x＞0时，f （x）==，利用单调性的定义设0＜x1＜x2，判定f（x1）与f（x2）的大小即可
（2）当x∈[2，3]时，f（x）==结合x∈[2，3]可求f（x）的范围，若f（x）=k在[2，3]上有解，则f（x）的范围即是k的范围
（3）f（x）=kx2有四个根，即（*）有四个根，当x=0时，是方程（*）的1个根，则只要有3个不为0的根，而结合函数g（x）=的图象可求
【解析】
（1）当x＞0时，f （x）==
设0＜x1＜x2
∴
==
∵0＜x1＜x2
∴2（x1-x2）＜0，（2+x1）（2+x2）＞0
∴
∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在（0，+∞）单调递增
（2）当x∈[2，3]时，f（x）==
∴4≤2+x≤5，
∴
∵f（x）=k在[2，3]上有解，则
（3）f（x）=kx2有四个根，即（*）有四个根
当x=0时，是方程（*）的1个根
则有3个不为0的根
而结合函数g（x）=的图象可知满足条件时有
∴k＞1