Question

（1）证明命题：若直线l过抛物线y²=2px （p＞0）的焦点F（，0），交抛物线于AB两点，O为坐标原点，那么•=-p²；
（2）写出第（1）题中命题的逆命题．如其为真，则给出证明； 如其为假，则说明理由；
（3）把第（1）题中命题作推广，使其是你推广的特例，并对你的推广作出证明．

Answer

（1）先讨论出当直线l垂直于x轴时，的值；再设出直线方程，把直线与抛物线方程联立，得到A，B两点的坐标和斜率之间的关系，再代入 计算即可得到结论．
（2）先写出第（1）题中命题的逆命题．其为真，利用类似（1）的方法给出证明；
（3）先写出推广结论，再根据第一问求 的方法即可得到结论．（注意要分直线斜率存在和不存在两种情况讨论）．
【解析】
（1）若直线l垂直于x轴，则 ，.=．…（2分）
若直线l不垂直于轴，设其方程为 ，A（x1，y1）B（x2，y2）．
由 ．…（4分）
∴=x1x2+y1y2===．
综上，=为定值．…（6分）
（2）写出第（1）题中命题的逆命题：
若直线l交抛物线于AB两点，O为坐标原点，•=-p2，那么直线l过抛物线y2=2px （p＞0）的焦点F（，0）．其为真，
证明如下：若直线l垂直于x轴，=．则，
AB过抛物线y2=2px （p＞0）的焦点F（，0）．…（4分）
若直线l不垂直于轴，设其方程为 y=k（x-m），A（x1，y1）B（x2，y2）．
由 及 =得出m=p．
从而AB过抛物线y2=2px （p＞0）的焦点F（，0）．…（8分）
（3）关于椭圆有类似推广的结论：
过椭圆 的一个焦点F的动直线l交椭圆于A、B两点，存在定点P，使 为定值．
证明：不妨设直线l过椭圆 的右焦点F（c，0）（其中 ）
若直线l不垂直于轴，则设其方程为：y=k（x-c），A（x1，y1）B（x2，y2）．
由 得：
所以 ，．…（9分）
由对称性可知，设点P在x轴上，其坐标为（m，0）．
所以 =（x1-m）（x2-m）+y1y2
=（1+k2）x1x2-（m+ck2）（x1+x2）+m2+c2k2
=（1+k2） -（m+ck2） +m2+c2k2
=
要使 为定值，
只要a4-a2b2-b4+a2m2-2a2cm=a2（m2-a2），
即
此时 =m2-a2=…（12分）
若直线l垂直于x轴，则其方程为x=c，，．
取点
有 ==．…（13分）
综上，过焦点F（c，0）的任意直线l交椭圆于A、B两点，存在定点
使 =．为定值．…（14分）