Question

数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=λa_n+2ⁿ（n∈N^*），λ为非零常数
（1）是否存在实数λ，使得数列{a_n}成为等差数列或者成为等比数列，若存在则找出所有的λ，并求出对应的通项公式；若不存在则说明理由；
（2）当λ=1时，记b_n=a_n+×2ⁿ，证明数列{b_n}是等比数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）a1=2，a2=2λ+2，a3=λa2+4=2λ2+2λ+4．分两种情况讨论①数列{an}为等差数列，得λ2-λ+1=0由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数λ，②若数列{an}为等比数列得（2+2λ）2=2（2λ2+2λ+4），解得λ=1，an+1=an+2n解得an=2n，故存在实数λ=1，使得数列{an}为等比数列．
（2）λ=1时由（1）可得，，容易证明
（3）①当λ=1时，转化为等比数列求解．②当λ=2时，构造等差数列 {}求解，，③当λ≠1且λ≠2时，构造等比数列 {}求解．
【解析】
（1））a1=2，a2=2λ+2，a3=λa2+4=2λ2+2λ+4（1分）
①若数列{an}为等}为等差数列，则得λ2-λ+1=0由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数λ，（3分）
②若数列{an}为等比数列得（2+2λ）2=2（2λ2+2λ+4），解得λ=1
则an+1=an+2n
a2-a1=2
a3-a2=22
…
an-an-1=2n-1
由累加法得：an-a1=2+22+…+2n-1=2n-2
解得an=2n（n≥2）
显然，当n=1时也适合，故an=2n（n∈N*）．
故存在实数λ=1，使得数列{an}为等比数列，其通项公式为an=2n（6分）
（2）λ=1时由（1）可得，，
∴
∴数列{bn}是等比数列
（3））①当λ=1时，an=2n，
由等比数列的求和公式可得，（7分）
②当λ=2时，构造等差数列 {}求解，，③当λ≠1且λ≠2时，构造等比数列 {}求解．