Question

（理）已知函数．
（1）试判断f（x）的奇偶性并给予证明；
（2）求证：f（x）在区间（0，1）单调递减；
（3）右图给出的是与函数f（x）相关的一个程序框图，试构造一个公差不为零的等差数列{a_n}，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0．请说明你的理由．

Answer

（1）先求出函数的定义域，得到定义域关于原点对称，在检验-x与x的函数值之间的关系，得到奇函数．
（2）根据单调性的定义，设出已知大小关系的任意两个变量，利用定义证明函数的单调性，得到函数是一个增函数．
（3）由程序框图知，公差不为零的等差数列{an}要满足条件，则必有f（a1）+f（a2）+…+f（a10）=0．所以要构造满足条件的等差数列{an}，可利用等差数列的性质，只需等差数列{an}满足：a1+a10=a2+a9═a5+a6=0．
【解析】
（1）由
得 ，
则 ，任取 ，
都有f（-x）==-f（x），则该函数为奇函数．
（2）任取0＜x1＜x2＜1，
则有0＜x12＜x22＜1⇒2-x12＞2-x22＞1，⇒ln（2-x12）＞ln（2-x22）＞0．
又 ，
所以 ，
即f（x1）＞f（x2），
故函数f（x）在区间（0，1）上单调递减．
（3）由程序框图知，公差不为零的等差数列{an}要满足条件，
则必有f（a1）+f（a2）+…+f（a10）=0．
由（1）知函数f（x）是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，
所以要构造满足条件的等差数列{an}，可利用等差数列的性质，只需等差数列{an}
满足：a1+a10=a2+a9═a5+a6=0
且 即可．
我们可以先确定a5，a6使得a5+a6=0，因为公差不为零的等差数列{an}必是单调的数列，只要它的最大项和最小项在 中，即可满足要求．
所以只要a5，a6
对应的点尽可能的接近原点．如取a5=-0.1，a6=0.1，存在满足条件的一个等差数列{an}可以是an=0.2n-1.1（1≤n≤10，n∈N*）．